Плоские фигуры

6. Длины дуг, стрелки, длины хорд, площади сегментов при радиусе, равном единице

рисунок

При пользовании таблицей при радиусах, не равных единице, следует умножить l, h и с на величину радиуса, а площадь сегмента умножить на квадрат радиуса.

При данной длине дуги l и стрелке h находим r = l : lо, где lо -длина дуги, соответствующая данному отношению l : h при r = 1. Если r - радиус круга и α - центральный угол в градусах, то полу­чаем:

длина хорды с = 2rsin(α/2) = 2формула;

стрелка h = r(1 – cos(α/2)) = (c/2)tg(α/4) = 2rsin2(α/4) = r - формула

длина дуги l = πr(α/180°) = 0,017453rα ≈ формула

площадь сегмента = (r2/2)(α° π/180° - sinα).

Центральныйугол в градусах

Длина дуги lо

Стрелка h

l/h

Длина хорды с

Площадь сегмента

1

0.0175

0.0000

458.36

0.0175

0.00000

2

0.0349

0.0002

229.19

0.0349

0.00000

3

0.0524

0.0003

152.79

0.0524

0.00001

4

0.0698

0.0006

114.60

0.0698

0.00003

5

0.0873

0.0010

91.69

0.0872

0.00006

6

0.1047

0.0014

76.41

0.1047

0.00010

7

0.1222

0.0019

64.01

0.1221

0.00015

8

0.1396

0.0024

56.01

0.1395

0.00023

9

0.1571

0.0031

50.96

0.1569

0.00032

10

0.1749

0.0038

45.87

0.1743

0.00044

11

0.1920

0.0046

41.70

0.1917

0.00059

12

0.2094

0.0055

38.23

0.2091

0.00076

13

0.2269

0.0064

35.28

0.2264

0.00097

14

0.2443

0.0075

32.78

0.2437

0.00121

15

0.2618

0.0086

30.60

0.2611

0.00149

16

0.2793

0.0097

28.04

0.2783

0.00181

17

0.2967

0.0110

27.01

0.2956

0.00217

18

0.3142

0.0123

25.35

0.3219

0.00257

19

0.3316

0.0137

24.17

0.3301

0.00302

20

0.3491

0.0152

22.98

0.3473

0.00152

21

0.3665

0.0167

21.95

0.3645

0.00408

22

0.3840

0.0184

20.90

0.3816

0.00468

23

0.4014

0.0201

20.00

0.3987

0.00535

24

0.4189

0.0219

19.17

0.4158

0.00607

25

0.4363

0.0237

18.47

0.4329

0.00686

26

0.4538

0.0256

17.71

0.4499

0.00771

27

0.4712

0.0276

17.06

0.4669

0.00862

28

0.4887

0.0297

16.45

0.4838

0.00961

29

0.5061

0.0319

15.89

0.5008

0.01087

30

0.5236

0.0341

15.37

0.5176

0.01180

31

0.5411

0.0364

14.88

0.5345

0.01301

32

0.5585

0.0387

14.42

0.5513

0.01429

33

0.5760

0.0412

13.99

0.5680

0.01566

34

0.5934

0.0437

13.58

0.5847

0.01711

35

0.6109

0.0463

13.20

0.6014

0.01864

36

0.6283

0.0489

12.84

0.6180

0.02027

37

0.6458

0.0517

12.50

0.6346

0.02198

38

0.6632

0.0545

12.17

0.6511

0.02378

39

0.6807

0.0574

11.87

0.6676

0.02568

40

0.6981

0.0603

11.58

0.6840

0.02767

41

0.7156

0.0633

11.30

0.7004

0.02976

42

0.7330

0.0664

11.04

0.7167

0.03195

43

0.7505

0.0696

10.78

0.7330

0.03425

44

0.7679

0.0728

10.55

0.7492

0.03664

45

0.7854

0.0761

10.32

0.7654

0.03915

46

0.8029

0.0795

10.10

0.7815

0.04176

47

0.8203

0.0829

9.80

0.7975

0.04448

48

0.8378

0.0865

9.69

0.8135

0.04731

49

0.8552

0.0900

9.50

0.8294

0.05025

50

0.8727

0.0937

9.31

0.8452

0.05331

51

0.8901

0.0974

9.14

0.8610

0.05649

52

0.9076

0.1012

8.97

0.8767

0.05978

53

0.9250

0.1051

8.80

0.8924

0.06319

54

0.9425

0.1090

8.65

0.9080

0.06673

55

0.9599

0.1130

8.49

0.9235

0.07039

56

0.9774

0.1171

8.35

0.9389

0.07417

57

0.9948

0.1212

8.21

0.9543

0.07808

58

1.0123

0.1254

8.07

0.9696

0.08212

59

1.0297

0.1296

7.94

0.9848

0.08629

60

1.0472

0.1340

7.81

1.0000

0.09059

61

1.0647

0.1384

7.69

1.0151

0.09502

62

1.0821

0.1428

7.56

1.0301

0.09958

63

1.0996

0.1474

7.46

1.0450

0.10428

64

1.1170

0.1520

7.35

1.0598

0.10911

65

1.1345

0.1566

7.24

1.0746

0.11408

66

1.1519

0.1613

7.14

1.0893

0.11919

67

1.1694

0.1661

7.04

1.1039

0.12443

68

1.1868

0.1710

6.94

1.1184

0.12982

69

1.2043

0.1759

6.85

1.1328

0.13535

70

1.2217

0.1808

6.76

1.1472

0.14102

71

1.2392

0.1859

6.67

1.1614

0.14683

72

1.2566

0.1910

6.58

1.1756

0.15270

73

1.2741

0.1961

6.50

1.1896

0.15889

74

1.2915

0.2014

6.41

1.2036

0.15514

75

1.3090

0.2066

6.34

1.2175

0.17154

76

1.3265

0.2120

6.26

1.2312

0.17808

77

1.3439

0.2174

6.18

1.2450

0.18477

78

1.3614

0.2229

6.11

1.2586

0.19160

79

1.3788

0.2284

6.04

1.2722

0.19859

80

1.3963

0.2340

5.97

1.2856

0.20573

81

1.4137

0.2396

5.90

1.2989

0.21301

82

1.4312

0.2453

5.83

1.3121

0.22045

83

'1.4486

0.2510

5.77

1.3252

0.22804

84

1.4661

0.2569

5.71

1.3383

0.23578

85

1.4835

0.2627

5.65

1.3512

0.24367

86

1.5010

0.2686

5.59

1.3640

0.25171

87

1.5184

0.2746

5.53

1.3767

0.25990

88

1.5359

0.2807

5.47

1.3893

0.26825

89

1.5533

0.2867

5.42

1.4018

0.27675

90

1.5708

0.2929

5.36

1.4142

0.28540

91

1.5882

0.2991

5.31

1.4265

0.29420

92

1.6057

0.3053

5.26

1.4387

0.30316

93

1.6232

0.3116

5.21

1.4507

0.31226

94

1.6406

0.3180

5.16

1.4627

0.32152

95

1.6580

0.3244

5.11

1.4746

0.33093

96

1.6755

0.3309

5.06

1.4863

0.34050

97

1.6930

0.3374

5.02

1.4979

0.35021

98

1.7104

0.3439

4.97

1.5094

0.36008

99

1.7279

0.3506

4.93

1.5208

0.37009

100

1.7453

0.3572

4.89

1.5321

0.38026

101

1.7628

0.3639

4.84

1.5432

0.39050

102

1.7802

0.3707

4.80

1.5543

0.40104

103

1.7977

0.3775

4.76

1.5652

0.41166

104

1.8151

0.3843

4.72

1.5760

0.42242

105

1.8326

0.3912

4.68

1.5867

0.43333

106

1.8500

0.3982

4.65

1.5973

0.44439

107

1.8675

0.4052

4.61

1.6077

0.45560

108

1.8850

0.4122

4.57

1.6180

0.46695

109

1.9024

0.4193

4.54

1.6282

0.47845

110

1.9199

0.4264

4.50

1.6383

0.49008

111

1.9373

0.4336

4.47

1.6483

0.50187

112

1.9548

0.4408

4.43

1.6581

0.51379

113

1.9722

0.4481

4.40

1.6678

0.52586

114

1.9897

0.4554

4.37

1.6773

0.53807

115

2.0071

0.4627

4.34

1.6868

0.55041

116

2.0246

0.4701

4.31

1.6961

0.56289

117

2.0420

0.4775

4.28

1.7053

0.57551

118

2.0595

0.4850

4.25

1.7143

0.58827

119

2.0769

0.4925

4.22

1.7233

0.60116

120

2.0944

0.5000

4.19

1.7321

0.61418

121

2.1118

0.5076

4.16

1.7407

0.62734

122

2.1293

0.5152

4.13

1.7492

0.64063

123

2.1468

0.5228

4.11

1.7576

0.65404

124

2.1642

0.5305

4.08

1.7659

0.66759

125

2.1817

0.5387

4.05

1.7740

0.68125

126

2.1991

0.5460

4.03

1.7820

0.69505

127

2.2166

0.5538

4.00

1.7899

0.70897

128

2.2340

0.5616

3.98

1.7976

0.72301

129

2.2515

0.5695

3.95

1.8052

0.73716

130

2.2689

0.5774

3.93

1.8126

0.75144

131

2.2864

0.5853

3.91

1.8199

0.76584

132

2.3038

0.5933

3.88

1.8277

0.78034

133

2.3213

0.6013

3.86

1.8341

0.79497

134

2.3387

0.6093

3.84

1.8410

0.80970

135

2.3562

0.6173

3.82

1.8478

0.82454

136

2.3736

0.6254

3.80

1.8545

0.83949

137

2.3911

0.6335

3.77

1.8608

0.85455

138

2.4086

0.6416

3.75

1.8672

0.86971

139

2.4260

0.6498

3.73

1.8733

0.88497

140

2.4435

0.6580

3.71

1.8794

0.90034

141

2.4609

0.6662

3.69

1.8853

0.91580

142

2.4784

0.6744

3.67

1.8910

0.93135

143

2.4958

0.6827

3.66

1.8966

0.94700

144

2.5133

0.6910

3.64

1.9021

0.96274

145

2.5307

0.6993

3.62

1.9074

0.97858

146

2.5482

0.7076

3.60

1.9126

0.99449

147

2.5656

0.7160

3.58

1.9176

1.01050

148

2.5831

0.7244

3.57

1.9225

1.02658

149

2.6005

0.7328

3.55

1.9273

1.04275

150

2.6180

0.7412

3.53

1.9319

1.05900

151

2.6354

0.7496

3.52

1.9363

1.07532

152

2.6529

0.7581

3.50

1.9406

1.09171

153

2.6704

0.7666

3.48

1.9447

1.10818

154

2.6878

0.7750

3.47

1.9487

1.12472

155

2.7053

0.7836

3.45

1.9526

1.14132

156

2.7227

0.7921

3.44

1.9563

1.15799

157

2.7402

0.8006

3.42

1.9598

1.17472

158

2.7576

0.8092

3.41

1.9633

1.19151

159

2.7751

0.8178

3.39

1.9665

1.20835

160

2.7925

0.8264

3.38

1.9696

1.22525

161

2.8100

0.8350

3.37

1.9726

1.24221

162

2.8274

0.843b

3.35

1.9754

1.25921

163

2.8449

0.8522

3.34

1.9780

1.27626

164

2.8623

0.8608

3.33

1.9805

1.29335

165

2.8798

0.8695

3.31

1.9829

1.31049

166

2.8972

0.8781

3.30

1.9851

1.32766

167

2.9147

0.8868

3.28

1.9871

1.34487

168

2.9322

0.8955

3.27

1.9890

1.36212

169

2.9496

0.9042

3.26

1.9908

1.37940

170

2.9671

0.9128

3.25

1.9924

1.39671

171

2.9845

0.9215

3.24

1.9938

1.41404

172

3.0020

0.9302

3.23

1.9951

1.43140

173

3.0194

0.9390

3.22

1.9963

1.44878

174

3.0369

0.9477

3.20

1.9973

1.46617

175

3.0543

0.9564

3.19

1.9981

1.48359

176

3.0718

0.9651

3.18

1.9988

1.50101

177

3.0892

0.9738

3.17

1.9993

1.51845

178

3.1067

0.9825

3.16

1.9997

1.53589

179

3.1241

0.9913

3.15

1.9999

1.55334

180

3.1416

1.0000

3.14

2.0000

1.57080

 

Пример 1. Вычислить радиус окружности, у которой при стрелке h = 2 мм длина дуги l = 10 мм. Находим l/h= 10/2 = 5. Из таблицы определяем lo = 1,6930, так согласно указанию в табл. 6 r = l/lo = 10/1,6930 = 5,9 мм.

Пример 2. Вычислить стрелку h дуги окружности радиусом r= 50 мм при централь­ном угле α = 30°. Из таблицы находим h = 0,0341 · 50 = 1,705 мм.

7. Вычисление элементов плоских фигур

Обозначения в формулах:

F- площадь; Р - полупериметр; L- длина окружности; l - длина дуги; n - число сторон мно­гоугольника; R- радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; О - центр тяжести; р - радиус кривизны; у0 и х0 - величины, определяющие положение центра тяжести.

Квадрат

?enoiie

oi?ioeu

 

oi?ioeu

Прямоугольник

?enoiie

oi?ioeu

О - в точке пересечения диагоналей;

y0 = b/2

Параллелограмм

?enoiie

F = ab; a = F/b; b = F/a;

О - в точке пересечения диагоналей;

y0 = a/2

Треугольник

?enoiie

oi?ioeu

О - в точке пересечения диагоналей;

y0 = (1/3)h; AB1 = B1C; CA1 = A1B; BC1 = C1A

Трапеция

?enoiie

F = (a+b)h/2;

y0 = (h/3)((2b+a)/(a+b))

Шестиугольник

?enoiie

F = 2,598n2 = 2,598R2 = 3,464r2;

R = n = 1,155r;

r = 866n = 0,866R;

O - в геометрическом центре;

у0 = 0,866R;

у01 = R

Правильный многоугольник

?enoiie

α = 360° / n; β= 180° - α;

oi?ioeu

О - в геометрическом центре;

y0 = 0,924R.

Для восьмиугольника

F= 2.828R2; r = 0.924R; n = 0.765R

Круг

?enoiie

o2 + o2 = r2; F= πr2 = 3,1416r2 = 0,7854d2;

L= 2πr = 6,2832r = 3,1416d;

r = L: 6,2832 = oi?ioea= 0,564oi?ioea

d = L: 3,1416 = oi?ioea= 1,128oi?ioea;

О - в центре кругa;

y0 = r

Полукруг

?enoiie

F = πr2/2 = 1,5708r2 = 0,3927d2;

y0 = (4r)/(3π) = 0,4244r

Сектор

?enoiie

oi?ioeu

Сегмент

?enoiie

oi?ioeu

Кольцо

?enoiie

oi?ioeu

Кольцевой сектор

?enoiie

oi?ioeu

?enoiie

oi?ioeu



« Назад [Плоские фигуры] Далее »